一、排列(Permutation)

0、排列与组合的区别：

排列：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取知r个的无重复排列。

组合：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。

符号表示不同:

排列A(n,r)。

组合版C(n,r)。

比如在3个数中选择2个数,组合方法有C（3,2）=3种,是12、13、23。而排列方法有12、21、13、31、23、32共A（3,2）=6种，组合对数据顺序无关,排列对数据顺序有关联。

1、定义

从\(n\)个不同元素中，任取\(m\)(\({m≤n}\)，\(m\)与\(n\)均为自然数) 个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个排列；

从\(n\)个不同元素中取出\(m\)(\(m≤n\))个元素的所有\(\color{red}{排列的个数}\)，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的\(\color{red}{排列数}\)，用符号\(A(n,m)\)或\(A_{n}^{m}\)表示。

2、公式

\[A_{n}^{m}=\underbrace{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}_{m项}=\frac{n!}{(n-m)!}

\]

3、案例

(1) 1-6中选取两个数组成两位数的排列

\[A_{6}^{2}=6\times5 = 30

\]

\(\color{red}{技巧}\)

\(从n=6开始，算阶乘，算m=2次。即，6\times5=30种排列。\)

4、性质

\(n=m\)时,

\[A_{n}^{m}=n!

\]

排列\(\color{red}{有顺序}\)

二、组合(Combination)

1、定义

从\(n\)个不同元素中，任取\(m(m≤n)\)个元素并成一组，叫做从\({n}\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个组合；

从\(n\)个不同元素中取出\(m(m≤n)\)个元素的所有组合的个数，叫做从\(n\)个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号\(C(n,m)\)或\(C_{n}^{m}\)表示。

2、公式

\[C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{m!}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m!}

\]

\[C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}

\]

3、案例

(1) 从1-6中选取两个数的组合

\[C_{6}^{2}=\frac{6\times5}{1\times2}=15

\]

\(\color{red}{技巧}\)

\(分子从n=6开始，算阶乘，算m=2次；分母从1开始，算阶乘，算m=2次。即：\frac{6\times5}{1\times2}=15\)

4、性质

\(若a+b=n，则C_{n}^{a}=C_{n}^{b}\)

那么：

\[C_{5}^{2} = C_{5}^{3}

\]

\[C_{100}^{98} = C_{100}^{2}

\]

\(C_{n}^{n}=C_{n}^{0}=1\)

那么：

\[C_{100}^{100} = C_{100}^{0}=1

\]

组合\(\color{red}{无顺序}\)